偏微分方程

一、预备知识之偏微分方程

偏微分方程的基本形式可以表示为：$F(x,y,...,u,u_x,u_y,...,u_{xx},u_{xy},...)=0$，

方程的解：称$u$是方程的解，如果把$u(x,y,...)$及其相应的偏导数带入偏微分方程中后，在$x,y,...$空间的某个区域$\Omega$中方程关于这些变量恒等成立。

方程的阶：因变函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。

线性偏微分方程：方程中因变函数及其各阶偏导数都是线性（一次）的，且系数仅依赖于自变量。

拉普拉斯方程：${\nabla }^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=0$；泊松方程：${\nabla }^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}=f(x,y,z)$；

亥姆霍兹方程：${\nabla }^{2}u+k^{2}u=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}+k^{2}u=0$；

热传导方程：$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\right)$；波动方程：$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}\right)$；

（非）齐次偏微分方程值的是当自由项（不）为0的方程。