基本数学物理方程

波动方程主要是为了求解弦振动问题，设u(x, y, z, t)为t时刻弦在不同位置振动所产生的位移：

齐次方程：（弦振动方程）$\rho u_{tt}-F_T{u}_{xx}=0$

对于均匀弦，ρ为常量，则原式改写为：$u_{tt}-a^2{u}_{xx}=0$，

一维波动方程：$u_{tt}=a^2{u}_{xx}$，

二维波动方程：$u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy})$，

三维波动方程：$u_{tt}=a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})$。

非齐次波动方程：（弦的受迫振动方程）$u_{tt}-a^2{u}_{xx}=f(x,t)$

其中$f(x,t)=F(x,t)/\rho$称为力密度，为t时刻作用于x处单位质量上的横向外力。 $a$为振动在弦上传播的速度

二、基本数学物理方程之拉普拉斯方程

拉普拉斯方程主要用于解决稳恒态模型问题：

一维拉普拉斯方程：$u_{xx}=0$,

二维拉普拉斯方程：$u_{xx}+u_{yy}=0$,

三维拉普拉斯方程：$u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0$,

拉普拉斯算符$:\Delta f={\nabla }^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\sum }_{i=1}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i^2}$,

球坐标拉普拉斯方程：$\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2}sin\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(sin\theta \frac{\partial u}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^{2}si{n}^2\theta }\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\phi }^2}=0.$

二、基本数学物理方程之扩散方程

在扩散问题中研究的是浓度u在空间中的分布和在时间中的变化u(x, y, z, t)。

扩散现象遵循扩散定律：$\overrightarrow{q}=-D\nabla u$，

一维扩散方程：$u_t-a^2{u}_{xx}=0(a^2=D)$，

三维扩散方程：$u_t-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=0(a^2=D)$，

① 扩散源的强度F(x, y, z, t)与浓度u无关，此时扩散方程为：

$u_t-a^2{u}_{xx}=F(x,y,z,t)(a^2=D)$， $u_t-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=F(x,y,z,t)(a^2=D)$，

② 扩散源的强度F(x, y, z, t)与浓度u成正比，则扩散方程为：

$u_t-a^2{u}_{xx}-b^{2}u=0$， $u_t-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})-b^{2}u=0$

二、基本数学物理方程之电磁波方程 利用麦克斯韦方程组的微分形式：

\begin{array}{l} \nabla \cdot \overrightarrow{D} = \rho \\ \nabla \times \overrightarrow{E} = -\overrightarrow{B_t} \\ \nabla \cdot \overrightarrow{B} = 0 \\ \nabla \cdot \overrightarrow{H} = \overrightarrow{j} + \overrightarrow{D_t} \end{array} \right.$$ 在真空时（$\rho = 0, \overrightarrow{j} = 0, \overrightarrow{B} = \mu_0 \overrightarrow{H}, \overrightarrow{D} = \varepsilon_0 \overrightarrow{E}$），则可导出真空中的电磁波方程： $$\overrightarrow{E}_{tt} - a^2 \Delta_3 \overrightarrow{E} = 0,$$

\overrightarrow{H}_{tt} - a^2 \Delta_3 \overrightarrow{H} = 0.$$ 其中$a^2=1/{\mu }_0{\epsilon }_0=c^2$, ${\epsilon }_0$、${\mu }_0$分别为真空中介电常量和磁导率，$\overrightarrow{E}$、$\overrightarrow{H}$为真空中电场强度和磁场强度。

二、基本数学物理方程之热传导方程

在热传导问题中研究的是温度在空间中的分布和在事件中的变化 $u(x,y,z,t)$:

热传导现象所遵循的热传导定理（傅里叶定理）为: $\overrightarrow{q}=-k\nabla u$,

在没有热源和热汇的热传导方程为: 一维热传导方程: $u_t-a^2{u}_{xx}=0$ $\left(a^2=\frac{k}{c\rho }\right)$,

三维热传导方程: $u_t-a^2{\Delta }_{3}u=0$ $\left(a^2=\frac{k}{c\rho }\right)$,

若在物体中存在热源，且热源强度为 $F(x,y,z,t)$，热传导方程写作:

一维热传导方程: $u_t-a^2{u}_{xx}=f(x,t)$ $\left(a^2=\frac{k}{c\rho }\right)$,

三维热传导方程: $u_t-a^2{\Delta }_3{u}_{xx}=f(x,t)$ $\left(a^2=\frac{k}{c\rho }\right)$,

其中 $f(x,t)=F(x,t)/c\rho$, $f(x,y,z,t)=F(x,y,z,t)/c\rho$。