热传导方程推导

物体密度为ρ, 比热为c, 导热系数为κ, 穿过每个表面的热通量为q_x 此时，从能量平衡的关系来看，内能的变化ΔU是输入能量E_{in}以及输出的能量E_{out}的差值，另外，微元内产生的热量为E_s 因此，它们之间存在以下关系。 $\Delta U=E_{in}-E_{out}+E_s---(1)$ 当Δt时间内的温度变化为ΔT时，ΔU如下所示

\Delta U = \rho c (dxdydz) \Delta T$$ 进而考虑E_{in}, E_{out}后如下式所示 $$E_{in} = \{q(x)dydz + q(y)dxdz + q(z)dxdy\} \Delta t$$

E_{out} = {q(x+dx)dydz + q(y+dy)dxdz + q(z+dz)dxdy} \Delta t$最后的E_s如下式所示$E_s = \dot{q}_v (dxdydz) \Delta t$$ 将上述式代入公式(1)整理后得到式(2)

\rho c \frac{\Delta T}{\Delta t} = -\frac{q(x+dx) - q(x)}{dx} - \frac{q(y+dy) - q(y)}{dy} - \frac{q(z+dz) - q(z)}{dz} + \dot{q}_v --- (2)$$ 现在，$q(x+dx)$可以使用泰勒展开式近似如下 $$q(x+dx) ≈ q(x) + \frac{\partial q(x)}{\partial x} dx$$

∴ q(x+dx) - q(x) ≈ \frac{\partial q(x)}{\partial x} dx$因此，应用傅里叶定律，上式变为$q(x+dx) - q(x) ≈ \frac{\partial q(x)}{\partial x} dx = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} dx$$ 由上式可知(2)可如式变形

\rho c \frac{\Delta T}{\Delta t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + k \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + k \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} + \dot{q}_v$$ 考虑到时间极限后如下式所示， $$\rho c \frac{\partial T}{\partial t} = k \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + k \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + k \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} + \dot{q}_v$$ 整理后得到下式

\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{k}{\rho c} (\frac{\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}) + \frac{\dot{q}_v}{\rho c}$$

这样，就成功地推导出热传导方程了。

最后，使用拉普拉斯算子可以简单的表示热传导方程如下

热传导方程

$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{k}{\rho c}{\nabla }^{2}T+\frac{{\dot{q}}_v}{\rho c}$