初始状态

三、初始条件

确定方程之后，我们还需要通过初值条件和边界条件对模型进行进一步的描述，从而求出对应的解。

· 初始条件：追溯到早先某个所谓“初始”时刻的状态，即初始条件。

输运过程：初始条件为所研究的物理量u的初始分布：$u(x,y,z,t){|}_{t=0}=\phi (x,y,z,t)$，

振动过程：物理量u在初始时刻的位移和速度：$\{\begin{array}{ll}u(x,y,z,t){|}_{t=0}=\phi (x,y,z),& \text{初始位移}\\ u_t(x,y,z,t){|}_{t=0}=\psi (x,y,z),& \text{初始速度}\end{array}$

稳态场问题不存在初始条件问题。

初始条件应当给出整个系统的初始状态，而不仅仅是系统中个别地点的初始状态

四、边界条件

边界条件：周围环境的影响常体现为边界上的物理状况(约束情况),即边界条件。

三类线性边界条件：第一类：$u(r,t){|}_{\Sigma }=f(M,t)$,

第二类：$\frac{\partial u}{\partial n}{|}_{\Sigma }=f(M,t)$,

第三类：$(u+H\frac{\partial u}{\partial n}){|}_{\Sigma }=f(M,t)$,

非线性边界条件：例如在热传导问题中，如果物体表面按斯蒂芬定律(温度四次方定律)向周围辐 射热量，便出现了非线性边界条件。

五、达朗贝尔公式 考虑一维波动方程： $\left(\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}-a^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\right)u=0,$ 观察方程，可以转换为：$\left(\frac{\partial }{\partial t}+a\frac{\partial }{\partial x}\right)\left(\frac{\partial }{\partial t}-a\frac{\partial }{\partial x}\right)u=0,$ 令： $x=a(\xi +\eta ),t=\xi -\eta$ 则有：$\frac{\partial }{\partial \xi }=\frac{\partial }{\partial t}+a\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial \eta }=-\left(\frac{\partial }{\partial t}-a\frac{\partial }{\partial x}\right),$ 带入原方程： $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }=0,$ 先对 $\eta$ 积分：$\frac{\partial u}{\partial \xi }=f(\xi ),$

再对 $\xi$ 积分，得到通解：$u=f_1(x+at)+f_2(x-at)$,

考虑无边界条件，设初始条件为：$u{|}_{t=0}=\phi (x)$，$u_t{|}_{t=0}=\psi (x)$ $(-\infty <x<\infty )$

将通解带入初始条件：$\{\begin{array}{l}{f}_1(x)+f_2(x)=\phi (x),\\ a{f}_1^{\prime }(x)-a{f}_2^{\prime }(x)=\psi (x);\end{array}$

积分得：$f_1(x)-f_2(x)=\frac{1}{a}{\int }_{x_0}^x\psi (\xi )d\xi +f_1(x_0)-f_2(x_0),$

解得：$\{\begin{array}{l}{f}_1(x)=\frac{1}{2}\phi (x)+\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^x\psi (\xi )d\xi +\frac{1}{2}[f_1(x_0)-f_2(x_0)],\\ f_2(x)=\frac{1}{2}\phi (x)-\frac{1}{2a}{\int }_{x_0}^x\psi (\xi )d\xi -\frac{1}{2}[f_1(x_0)-f_2(x_0)].\end{array}$

代回通解得到满足初始条件的特解：$u(x,t)=\frac{1}{2}[\phi (x+at)+\phi (x-at)]+\frac{1}{2a}{\int }_{x-at}^{x+at}\psi (\xi )d\xi .$