常微分方程

常微分方程的基本形式可以表示为：$F(x,y,y^{\prime },y^{\prime \prime },...,y^n)=0$，

二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式：$y^{\prime \prime }(x)+p{y}^{\prime }(x)+qy(x)=0$，

其特征方程为：$r^2+pr+q=0$，

特征方程的解可以表示为特征根：$r_1,r_2$

①当$r_1\ne r_2$，且$r_1,r_2\in \mathbb{R}$，齐次方程通解为：$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$，

②当$r_1=r_2=r$，齐次方程通解为：$y=(C_{1}x+C_2)e^{rx}$，

③当$r_{1,2}=\alpha \pm i\beta$，齐次方程通解为：$y=e^{\alpha t}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$，

因此二阶常系数非齐次线性微分方程的解的结构为：$Y=y+y^{\ast }$，其中$y$是$y^{\prime \prime }(x)+p{y}^{\prime }(x)+qy(x)=0$的通解，$y^{\ast }$是$y^{\prime \prime }(x)+p{y}^{\prime }(x)+qy(x)=f(x)$的一个特解。

欧拉方程

此处我们介绍一种特殊的变系数线性微分方程——欧拉方程： $x^n{y}^{(n)}+P_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +P_{n-1}x{y}^{\prime }+P_{n}y=f(x)$

当$n=2$（变系数二阶线性常微分方程）时写作：$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}-m^{2}y=0$，

欧拉方程求解方法：（重点：代换法）

令$x=e^t,y=y(x)=y(e^t)=z(t)$：$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=x\frac{dy}{dx},\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{d(x{y}^{\prime })}{dx}\frac{dx}{dt}=(y^{\prime }+x{y}^{\prime \prime })e^t=x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+x\frac{dy}{dx}$

带入原方程：$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-m^{2}y=0$，

方程解为：$y(x)=\{\begin{array}{ll}C{e}^{mt}+D{e}^{-mt}=C{x}^m+D\frac{1}{x^m}& (m\ne 0),\\ C+Dt=C+D\ln x& (m=0).\end{array}$

求欧拉方程：$x^3{y}^{\prime \prime \prime }+x^2{y}^{\prime \prime }-4x{y}^{\prime }=3x^2$的通解。

解：令$x=e^t$，则原式变为：$x^3\left[\frac{1}{x^3}\left(\frac{d^{3}y}{d{t}^3}-3\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\frac{dy}{dt}\right)\right]+x^2\left[\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-\frac{dy}{dt}\right)\right]-4x\left[\frac{1}{x}\cdot \frac{dy}{dt}\right]=3e^{2t}$，

化简为：$\frac{d^{3}y}{d{t}^3}-2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dy}{dt}=3e^{2t}$，

此时方程对应的齐次方程为：$\frac{d^{3}y}{d{t}^3}-2\frac{d^{2}y}{d{t}^2}-3\frac{dy}{dt}=0$，

其特征方程为：$r^3-2r^2-3r=0$，

特征方程解为：$r_1=0$，$r_2=-1$，$r_3=3$

则齐次方程通解为：$Y=C_1+C_2{e}^{-t}+C_3{e}^{3t}$，

则：$y=C_1+C_2{x}^{-1}+C_3{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2$。